Грани возможного

На уроках детей будут обучать техникам медитации, расслабления и дыхания, которые помогут им стать более осознанными и улучшить свое ментальное состояние. Это практически дословный перевод официального сообщения, опубликованного на сайте британского правительства. Майндфулнес-медитации обучают сотрудников в мегакорпорациях вроде Google, Apple или Procter & Gamble, ее преподают в тюрьмах и в американской армии.

Но даже ученые, исследующие технику майндфулнес (по-русски ее часто называют «осознанностью»), якобы восходящую к древним буддийским практикам, не знают, что же это, собственно говоря, такое. Самое строгое определение звучит так: «навык проявлять внимание в каждый момент времени, намеренно, с любопытством и сочувствием» (learning to pay attention moment by moment, intentionally, and with curiosity and compassion).

Несмотря на размытость определения, вал статей, посвященных майндфулнес, растет с каждым годом и, в целом, изучающая ее область выглядит как всамделишная наука. Но это на первый взгляд. Более внимательный разбор показывает: сколько-нибудь убедительных доказательств, что практика осознанности способна улучшить ментальное здоровье, избавиться от депрессии, сбросить вес или бросить курить, не существует.


Что это?

Выяснять, как нечто, чего не могут толком описать даже самые горячие его сторонники, влияет (или не влияет) на те или иные процессы в мозгу, весьма затруднительно. Однако сторонников майндфулнес такими трудностями не испугать. В разных статьях под видом практики осознанности добровольцам предлагается делать порой весьма непохожие вещи в течение неодинакового времени. А чтобы оценить, насколько успешной была майндфулнес-медитация, ученые задают участникам вопросы вроде: «Улучшились ли ваши способности испытывать осознанность?»

Более того, добровольцев просят сравнивать свои ощущения: «Вы сегодня более осознанны, чем вчера? А чем позавчера? А на сколько именно больше?» При этом ученые не говорят испытуемым, на какие именно изменения им следует обращать внимание — собственно, они и не могут, ведь у осознанности нет четких критериев.

Более добросовестные авторы пытаются оценивать какие-нибудь объективные критерии, например частоту дыхания или сердцебиения. Но и тут не все гладко. Работ, которые бы однозначно показывали, как именно сердечный ритм коррелирует с увеличением осознанности, не существует. Зато существуют работы, которые показывают, что такой корреляции нет.

Кроме того, как отмечают исследователи — критики осознанности, из-за того, что темы медитации и расслабления очень раскручены в медиа, многие участники опытов подсознательно ожидают, что такие практики улучшат их состояние. Убрать подобные ожидания нереально, а значит, невозможно оценить, насколько сильно оказывается искажен самоанализ.

Наконец, субъективная оценка собственного состояния очень часто никак не коррелирует с реальными изменениями. Весьма показательный опыт, демонстрирующий это расхождение, провела группа ученых под руководством известного исследователя плацебо Тэда Капчука.

Исследователи работали со страдающими астмой добровольцами, которых поделили на четыре группы. Первой группе делали ингаляции с реальным препаратом, расширяющим бронхи, второй — ингаляции с плацебо, а третьим проводили фейковую акупунктуру — то есть «кололи» иголками, которые не протыкали кожу, а задвигались в кожух. Пациентам из четвертой группы не делали ничего.

По итогам каждого воздействия ученые проводили спирометрию (процедура, позволяющая оценить функциональное состояние легких) и задавали пациентам вопросы о самочувствии. Как и ожидалось, работу легких реально улучшили только ингаляции с лекарством, при этом об улучшении самочувствия аж на 50 процентов сообщали все испытуемые, с которыми что-то делали.

В части работ, посвященных майндфулнес, авторы все же пытаются оценивать изменения показателей, которые поддаются измерению, — например, способность решать утомительные задачи без ошибок или уровень главного гормона стресса — кортизола — после таких экзекуций. Однако к этим, казалось бы, объективным исследованиям вопросов едва ли не больше, чем к попыткам оценить степень осознанности, интересуясь у добровольцев их состоянием.

Как и в работах с применением опросников, под общим термином «практика осознанности» фигурируют очень разные вещи. Кто-то выдает добровольцам инструкции на бумажке, кто-то дает прослушать аудиозапись, кто-то рассказывает лично. В одних работах участники пытаются осознать себя в моменте с любопытством и сочувствием в течение пяти минут, в других упражнения повторяются несколько дней по полчаса.

Сравнивать между собой работы, использующие столь различные методологические подходы, нельзя — это примерно то же самое, что сопоставлять результаты обследования пациента в классной клинике с самым современным оборудованием и рассказ о самочувствии человека, присланный его соседкой. Тем не менее, авторы многих обзоров именно так и поступают, смело объединяя ужей и ежей.


Противные цифры

При этом в абсолютном большинстве исследований майндфулнес участвует очень мало добровольцев (иногда меньше десяти). Делать какие-либо выводы при таких малых выборках невозможно. Попробуйте десять раз бросить монетку — совершенно необязательно, что орел и решка выпадут ровно по пять раз. Если вы не повторите опыт, то так и будете думать, что вероятность выпадения орла, скажем, 70 процентов, а решки — 30 процентов.

На научном языке такая ошибка в оценке называется преувеличением репрезентативности малых выборок, и она определяет очень многие решения в нашей жизни. О склонности людей делать далеко идущие выводы на основании малого количества наблюдений писали, например, знаменитые психологи Дэниэл Канеман и Амос Тверски.

Ученые, разумеется, прекрасно осведомлены об этой особенности человеческого мышления и о ненадежности малых выборок в целом. Более того, они давно изобрели способ обойти это ограничение — увеличив выборку. Если бросить монетку 1000 раз, частота выпадения орлов и решек будет стремиться к распределению 50 на 50. Если взять 1000 добровольцев, можно получить куда более реальную картину того, как майндфулнес или любое другое психологическое воздействие влияет на поведение.

Но большие выборки в психологии редкость. Ученые объясняют это методологическими трудностями, нехваткой времени, сотрудников, места в лаборатории, скудным финансированием и даже интуицией, которая подсказывает, какого размера должна быть выборка. Объяснения могут звучать вполне убедительно — но, увы, они никак не увеличивают достоверность результатов, полученных на 15 добровольцах.

Не менее серьезная претензия к результатам исследований осознанности касается размера наблюдаемых эффектов. Это очень важный параметр, который может «обнулить» даже результаты, полученные на приличных выборках. Грубо говоря, он оценивает, насколько сильно отличаются средние значения какой-либо величины (например, способности долго решать скучные задачи) до и после воздействия (скажем, практики осознанности).

Представьте, что вы решили измерить, как меняется уровень воды в море, когда жители прибрежной деревни отправляются на рыбалку на лодках. Вы проводите измерения в маленькой бухте и устанавливаете, что, когда в море выходит сотня рыбаков, уровень воды поднимается на 0,005 миллиметра. При этом ежедневные колебания уровня воды в той же бухте из-за приливов и отливов составляют 10 метров. В такой ситуации говорить о значимом влиянии рыбаков на уровень моря не приходится, потому что изменение уровня воды, вызванное лодками, на семь порядков меньше суточных приливных колебаний.

Если внимательно изучить цифры в работах, посвященных влиянию осознанности на те или иные психические проявления, окажется, что огромное множество из них недалеко ушли от ситуации с лодками и уровнем моря. Наблюдаемые эффекты настолько малы, что всерьез говорить о каком-либо влиянии практики майндфулнес на поведение не приходится.

Более того, очень часто в результатах скрывается еще один трюк, который заставляет относиться к работам по осознанности с предубеждением. Многие признаки, изменения которых наблюдают авторы статей про майндфулнес, очень сильно варьируют как между отдельными людьми, так и в течение суток. Например, концентрация кортизола утром колеблется в пределах от 3,5 до 27 наномолей на литр, а днем — в пределах от 1,3 до 6,0 наномолей на литр.

Для примера рассмотрим одну из статей про положительное влияние осознанности, призванное уменьшить стресс от решения трудных задач. Авторы выяснили, что после майндфулнес-упражнений уровень кортизола в контрольной группе поднялся с 10 до 15 наномолей на литр, а в экспериментальной — с 8 до 10 наномолей на литр. Судя по изначальным уровням гормона, измерения проводили утром, когда вариативность кортизола максимальна. В такой ситуации говорить о достоверной разнице в 3 наномоля на литр нельзя. Если вернуться к аналогии с лодками, то это все равно что пытаться измерить их влияние во время прилива.


Картинки, которые ничего не показывают

Третий способ оценить влияние майндфулнес-практик — напрямую посмотреть, как они влияют на работу мозга. Точнее, напрямую это проверить нельзя, — для этого пришлось бы вскрывать добровольцам череп, — но можно оценить по косвенным признакам. Технология функциональной магнитной томографии (фМРТ) позволяет увидеть изменения кровотока в тех или иных зонах мозга — это считается достоверным показателем их активации.

Энтузиасты майндфулнес сообщают, что применяемая ими техника вызывает всевозможные изменения в работе и даже строении мозга. Но даже сторонники точки зрения, что осознанность действительно влияет на наш мозг, призывают с осторожностью трактовать имеющиеся результаты.

Основных проблем несколько. Существенная часть работ с использованием фМРТ сравнивает искушенных в майндфулнес-медитации людей и новичков. Как объясняют авторы подобных работ, такого рода сравнение позволяет максимально «выпятить» эффект, который дает регулярное применение осознанности. Однако такой подход не позволяет разделить следствие и причину: очень может быть, что мозг людей, которые годами с удовольствием занимаются майндфулнес-медитацией, изначально отличается от мозга тех, кому такое времяпрепровождение неинтересно.

Работы, в которых сравнивали новичков, практиковавших майндфулнес и другие техники вроде расслабления, выявляют некоторые отличия, однако неясно, насколько они отражают реальные изменения в работе мозга. Теоретически можно было бы провести долгосрочные исследования, чтобы проследить, как меняется из-за регулярный медитаций, скажем, мозг буддийских монахов. Однако в этом случае немедленно станет вопрос об адекватной контрольной группе, решить который нереально чисто технически.


Бесконтрольные исследования

Отсутствие нормальных контрольных групп — еще одна типичная методологическая особенность работ по изучению осознанности, которая мешает серьезно воспринимать их результаты. Этим термином называют группу испытуемых, которые находятся в тех же условиях, что и экспериментальная группа, но изучаемое воздействие (в данном случае, майндфулнес) к ним не применяется.

Оценивать влияние какого-нибудь воздействия самого по себе нельзя — нет гарантии, что наблюдаемый эффект не проявится и при любом другом воздействии. Например, если дать одному человеку новое лекарство, а другому — такую же с виду таблетку, но без действующего вещества, вполне может оказаться, что обоим пациентам станет лучше — просто от осознания самого факта, что они лечатся. Собственно, очень часто именно так и происходит, поэтому все новые лекарства обязательно тестируют против плацебо — тех самых таблеток-«пустышек».

Кажется, все элементарно, но на самом деле подбор адекватного контроля часто становится крайне сложной задачей. Что должно представлять собой воздействие-«пустышка» в исследованиях осознанности? Очень часто ученые сравнивают испытуемых, которые практикуют майндфулнес-техники, с добровольцами, которые ждут своей очереди, чтобы поучаствовать в исследовании. Это неадекватное сравнение, так как отсутствие воздействия сопоставляется с активным воздействием, которое, к тому же, усилено ожиданием позитивного эффекта — это весьма мощный фактор, улучшающий прогнозируемый эффект воздействия.

Некоторые исследования майндфулнес используют более адекватный активный контроль — например, добровольцам рассказывают не о практике осознанности, а о расслаблении или объясняют, как правильно питаться или бросить курить (если исследуется воздействие практик осознанности на похудение или курение). И в таких исследованиях очень часто ученым не удается обнаружить разницу между экспериментальной и контрольными группами.


Бочка дегтя

Но, может быть, все не так плохо, и, несмотря на несовершенство методов исследования осознанности, эта техника таки улучшает работоспособность, эффективность, настроение или еще какие-нибудь хотя бы примерно измеряемые показатели? Увы, ответ на этот вопрос, в лучшем случае, — «мы не знаем», а в худшем — просто «нет». Качество абсолютного большинства исследований настолько низкое, что всерьез рассуждать о достоверности их результатов нельзя. В приличных вузах работы такого уровня не потянут даже на курсовую.

И хотя ученые — в том числе и те, которые занимаются исследованием практик осознанности, — неоднократно выражали беспокойство из-за крайне низкого качества большинства работ по майндфулнес, за последние полтора десятка лет оно, увы, не улучшилось.


Ирина Якутенко

Самое замечательное число — 73. Вы, скорее всего, теряетесь в догадках почему. 73 — это 21-ое простое число. Его зеркальное отражение 37 является 12-ым, чье отражение 21 является результатом умножения, не упадите, 7 и 3. Ну, не обманул?

Леонард: Убедил. Число 73 — Чак Норрис всем числам.

Шелдон: Чак Норрис нервно курит в сторонке. В двоичной системе 73 — еще и палиндром. 1001001, что справа налево читается как 1001001, то есть абсолютно идентично. А ваш Чак Норрис задом наперед всего лишь Сиррон Кач.

Переформулируем заявление Шелдона на математическом языке. Обозначим n-ое простое число как p(n). Определим «зеркальное» число m(x), которое получается перестановкой цифр числа x в десятичной записи. Например, m(922) = 299, m(6) = 6, m(1200) = 21. Тогда первое свойство запишется как m(p(n)) = p(m(n)). Теперь введем функцию П(x), которая возвращает произведение цифр числа x в десятичном представлении.

Например, П(647) = 168, П(81) = 8, П(1024) = 0. В этих обозначениях второе свойство выглядит как П(p(n)) = n. Наконец, назовем число, которое обладает свойствами «зеркальности» и «произведения», числом Шелдона. Тогда «превосходство» числа 73 над всеми остальными числами означает, что 73 является единственным числом Шелдона.


Ищем контрпримеры к гипотезе Шелдона

К сожалению, на момент формулировки это утверждение было голословным: никто — кроме, возможно, самого Шелдона — не проверял, что других чисел с перечисленными свойствами не существует. Тем не менее, с помощью довольно простого анализа можно убедиться, что свойства зеркальности и произведения являются чрезвычайно ограничительными. Следовательно, если контрпримеры к гипотезе Шелдона и существуют, то они лежат далеко за пределами обозримого множества простых чисел, то есть искать их простым перебором будет сложно.

Сначала рассмотрим свойство «зеркальности», которое на самом деле разбивается на два утверждения.

Во-первых, это свойство означает, что число m(p(n)) является простым. В принципе, чисел, которые удовлетворяют этому свойству, довольно много: среди первых десяти миллиардов простых чисел почти 15 процентов имеют «зеркального» собрата. В частности, в первом десятке таких чисел семь: это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.

Во-вторых, число m(p(n)) со свойством «зеркальности» также должно быть m(n)-ым по счету простым. Это ограничение гораздо жестче. Очевидно, ему удовлетворяют однозначные простые числа (2, 3, 5, 7), а также пара 37 и 73. Однако помимо этих тривиальных примеров среди первых десяти миллиардов простых чисел встречается только одно число со свойством «зеркальности» — это p(8114118) = 143787341. Интересно, что в этом случае и n, и p(n) являются палиндромами.

Свойство «произведения» ограничивает множество кандидатов на число Шелдона гораздо сильнее, чем свойство «зеркальности». Прежде всего, из него следует, что десятичная запись числа p(n) не содержит нуля. Если считать, что все десять цифр в записи числа встречаются с одинаковой вероятностью, то это ограничение оставит из простых чисел длиной n порядка 0,9n чисел. Чем больше n, тем меньше вероятность встретить число со свойством «произведения». Например, для n = 512 эта вероятность не превышает 4,6×10−24. Впрочем, гипотеза о равномерном распределении цифр в записи простых чисел не доказана (и, вероятно, даже не верна), поэтому это соображение носит скорее качественный характер.

Тем не менее, с помощью свойства «произведения» все равно можно надежно исключить большое множество простых чисел. Заметим, что все простые делители числа П(x) ограничиваются множеством {2,3,5,7}, поскольку П(x) получается умножением десятичных цифр. Математики называют такое число 7-гладким. Следовательно, из анализа можно выбросить все простые числа, номер которых делится на простое число больше семи. Это заметно снижает множество возможных кандидатов на число Шелдона.

Это множество можно сузить еще сильнее, если воспользоваться ограничениями на функцию p(n). Из известной теоремы о распределении простых чисел, доказанной в 1896 году Жаком Адамаром, следует, что при больших n функция p(n) ≈ n•ln(n). Например, миллионное простое число примерно равно p(1000000) ≈ 1000000•ln(1000000) ≈ 13815510 (в действительности p(1000000) = 15485863). Более того, около двадцати лет назад были доказаны более строгие соотношения, которые не просто говорят об асимптотическом поведении p(n), но и строго ее ограничивают: n•ln(n) + n•ln(ln(n)) − n < p(n) < n•ln(n) + n•ln(ln(n)) для всех n ≥ 6. С помощью этого ограничения можно показать, что номер числа Шелдона не делится на сто: если это не так, то после зеркального отражения длина номера уменьшится на два (например, m(13700) = 731), а потому отвечающее ему простое число будет слишком коротким, чтобы длины чисел p(n) и p(m(n)) совпали (очевидно, простое число не может заканчиваться на ноль).

Таким образом, номер простого числа-кандидата на число Шелдона должен быть 7-гладким числом, которое не делится на сто. Оказывается, что это условие чрезвычайно ограничительно. Среди первого миллиарда простых чисел только 3039 чисел удовлетворяют обоим свойствам. Более того, после полноценной проверки свойства «произведения» из этих кандидатов остается только три числа: 17, 73 и 2475989 (7-ое, 21-ое и 181440-ое простое число соответственно). Очевидно, свойство «зеркальности» оставляет из них только 73.

Поэтому кажется крайне маловероятным, что существует несколько чисел Шелдона. Впрочем, в математике такие интуитивные соображения не работают: иногда гипотезы опровергаются только очень сложными контрпримерами, которые невозможно угадать заранее. Поэтому хотелось бы все-таки доказать гипотезу Шелдона строго.

Насколько нам известно, впервые гипотеза Шелдона привлекла внимание математического сообщества в 2015 году, когда математики Джесси Бирнс (Jessie Byrnes), Крис Спайсер (Chris Spicer) и Алисса Тёрнквист (Alyssa Turnquist) строго ее переформулировали и провели предварительный качественный анализ. Свою заметку ученые опубликовали в журнале Math Horizons, который предназначен для «студентов, заинтересованных математикой». Собственно, на момент написания заметки два ее соавтора (Бирнс и Тёрнквист) сами были студентами.


Доказываем гипотезу

В феврале этого года гипотеза Шелдона, наконец, была строго доказана: математики Крис Спайсер и Карл Померанс (Carl Pomerance) показали, что не существует чисел, которые одновременно обладают свойствами «зеркальности» и «произведения», кроме 73. Это доказательство полагается на следующие три утверждения.

Во-первых, математики показали, что простое число Шелдона не может превосходить 1045. Для этого ученые воспользовались соотношением, доказанным в 1962 году Баркли Россером (Barkley Rosser) и Лоуэлом Шёнфельдом (Lowell Schoenfeld): функция π(x), подсчитывающая число простых чисел на отрезке [2; x], строго больше x/ln(x) для всех x ≥ 17. Предположим, что в десятичной записи n-ого простого числа p(n) содержится k цифр, причем первая цифра в точности равна a. Тогда из свойства «произведения» следует, что число n не может быть больше, чем a × 9k − 1. В то же время, само число p(n) ≥ a × 10k − 1. Следовательно, из теоремы Россера и Шёнфельда следует следующее соотношение:


a × 9k − 1 > a × 10k − 1/ln(a × 10k − 1) ⇒ ln(a) + (k − 1) ln(10) > (10/9)k − 1.

Левая сторона этого неравенства растет по k линейно, а правая — экспоненциально. Следовательно, рано или поздно неравенство нарушится. Кроме того, если это неравенство нарушается для a = 9, то для других цифр оно также выполняться не будет. Путем несложного вычисления можно найти, что для всех k ≥ 46 оно не выполняется. Следовательно, простое число Шелдона не превосходит 1045.

о-вторых, немного усложнив анализ 2015 года, который мы уже упомянули в этом блоге, Спайсер и Померанс установили, что простое число Шелдона обладает следующими свойствами:

-Его номер n является 7-гладким числом;
-Первая цифра числа p(n) принимает значения из множества {1,3,7,9};
-Число цифр числа с «зеркальным» номером p(m(n)) совпадает с числом цифр p(n);
-n не делится на 625;
-Если p(n) > 1019, то n не делится на 125;
-n не делится на 100;
-Десятичная запись числа p(n) не содержит нуля, а единица может стоять только в самом его начале;
-Первая цифра p(m(n)) принимает значения из множества {3,7,9}.

Наконец, исследователи вывели ограничение на функцию p(n), которое позволяло быстро оценить первые несколько цифр кандидата на число Шелдона. Для этого ученые приблизили функцию π(x) обратным интегральным логарифмом li−1(x) (интегральный логарифм исследователи определили как li(x) ≡ ∫2xdt/ln(t), а li−1(li(x)) ≡ x). Если точнее, с помощью нескольких промежуточных лемм Спайсер и Померанс вывели следующее соотношение, которое выполняется для всех p(n) > 1019:

|p(n) − li−1(n)| < E(li−1(n)),
где функция E(x) = (5,5 × 109 + 2,3 × 10−8li(x) + 10−11x)∙ln(x).

Используя это соотношение, ученые проверили свойства числа Шелдона p(n) для всех возможных кандидатов в диапазоне 1019 < p(n) < 1045. Среди этих простых чисел 1865251 имело 7-гладкий номер. После исключения номеров, которые делятся на 100 или 125, множество сузилось до 213449 кандидатов. Из них всего 112344 начинались на 1, 3, 7 или 9.

Затем исследователи использовали выведенное ограничение на функцию p(n) и нашли первые пять цифр числа p(n). Перемножая эти числа и умножая их на нужную степень девяти, ученые получили ограничение сверху на произведение П(n) и отбросили всех кандидатов, для которых этот ограничение не дотягивало до n. Подобный отбор пережило 991 число, тогда как для 168 чисел однозначно восстановить первые пять цифр вообще не удалось. После этого ученые повторили подобный анализ, оценивая первые шесть чисел числа. В результате среди всех кандидатов осталось всего 141 число, которое прошло обе проверки, 168 чисел, которые не удалось исключить на первом этапе, и 29 чисел, которые не удалось исключить на втором этапе.

Для оставшихся 338 кандидатов ученые нашли p(m(n)) и проверили, что число его цифр совпадает с p(n), а первая цифра принадлежит множеству {3,7,9}. Это сузило область поисков до 45 кандидатов. Все они были достаточно малы, чтобы можно было однозначно восстановить первые пять цифр числа p(m(n)). Придерживаясь той же стратегии, что и для чисел p(n), ученые показали, что произведение П(m(n)) не дотягивает до n (очевидно, П(m(n)) = П(n)).

В диапазоне p(n) < 1019 исследователи придерживались той же стратегии. Впрочем, из-за недостаточной жесткости ограничений на разницу p(n) и li−1(n) в этом диапазоне пять простых чисел пережило все проверки. Это числа 97496326163, 97841660857, 99024780191, 316109730941 и 785009387557. Впрочем, десятичная запись четырех последних чисел содержит ноль, а первого — единицу на нелидирующей позиции, поэтому эти числа не обладают необходимыми свойствами. Следовательно, число 73 действительно является единственным числом Шелдона.

Более подробное доказательство гипотезы Шелдона можно найти в препринте, подготовленном Спайсером и Померансом.

***
Внимательный читатель мог заметить, что Шелдон упоминал о еще одном свойстве числа 73: двоичная запись этого числа является палиндромом. Теперь очевидно, что это замечание служило скорее «вишенкой на торте», то есть не было необходимым для доказательства «превосходства» 73 над остальными числами. Тем не менее, оно также указывает на возможные обобщения гипотезы Шелдона на другие системы записи чисел. Если бы человечество пользовалось другой системой, сколько бы в ней существовало чисел Шелдона? И существовали бы вообще? Пока что математики не пытались ответить на этот вопрос.